Saltar ao contido

Corte de Dedekind

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Un corte de Dedekind separa o conxunto de números racionais en dous subconxuntos: aqueles que teñen un cadrado menor que 2 e os que teñen cadrado maior que 2. Este corte pode identificarse co número irracional . O conxunto de cortes de Dedekind pódese usar para construír o conxunto de números reais a partir dos números racionais.

En matemáticas, un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado é un par (, ) de subconxuntos de , que forman unha partición de , e onde todos os elementos de son menores que calquera elemento de .

De certa maneira, este corte conceptualiza algo que estaría "entre" e , pero que non ten por que ser un elemento de .

Richard Dedekind introduciu os cortes de Dedekind como un medio para construír o conxunto dos números reais (presentando formalmente o que hai "entre" números racionais).

Definición

[editar | editar a fonte]

Un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado defínese por un par (, ), onde e , tal que:

Os puntos 1, 2 e 3 din que e constitúen unha partición de . Polo tanto, a definición de corte determina completamente unha partición.

O punto 4 establece a partición dos elementos de nestas dúas partes. Pode demostrarse que este punto equivale a:

  • e
  • .

Construción dos números reais

[editar | editar a fonte]

Se , o conxunto de números racionais, pode considerarse o corte seguinte:

Este corte permite representar o número irracional que aquí se define tanto polo conxunto de números racionais que teñen cadrado máis pequeno que 2 como polo dos que teñen cadrado maior que 2.

A consideración de todos os cortes de Dedekind sobre permite unha construción do conxunto dos números reais .

Orde dos cortes de Dedekind

[editar | editar a fonte]

Sexan e dous cortes de Dedekind en . Defínese unha orde no conxunto de cortes de Dedekind de establecendo:

.

Pódese demostrar que o conxunto dos cortes de Dedekind provisto desta orde posúe a propiedade do elemento principal, aínda que non a posúa. Somerxendo neste conxunto, esténdese a un conxunto do cal todo subconxunto limitado superiormente posúe un supremo.

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]